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100個紅綠球，讓2萬人集體翻車，數(shù)學(xué)家「罐中難題」引爆全網(wǎng)討論(6)

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2024-09-03 13:47:05  網(wǎng)易

所以Alice會以壓倒性的優(yōu)勢獲勝，這意味著她在游戲中浪費(fèi)了一些期望得分。

相較之下，Bob可能會贏得更多比賽，但每次獲勝優(yōu)勢較小。通過模擬驗(yàn)證，可以證明這個結(jié)果是正確的。

不確定的是，如果改變游戲規(guī)則的話，這個啟發(fā)性的方法是否成立。

而且，Litt表示，我不知道是否存在一個證明，能夠完全解釋這種現(xiàn)象，特別是一個適用于任意次數(shù)翻轉(zhuǎn)的證明。

概率論家、數(shù)學(xué)博士發(fā)論文

對于自己所出的概率題，Litt也做了一個證明，但僅是一個復(fù)雜，且缺乏理論的論證。

而真正讓他興奮的是，這些謎題在一大波專業(yè)人士中，掀起了熱議。

一位數(shù)學(xué)博士Sridhar Ramesh收集了一些漂亮的論證。

他將拋硬幣問題比作成一個「隨機(jī)行走」的問題，其中向上和向下的步驟概率相等，但速度分布不同。

從中可以獲得的關(guān)鍵觀察是，返回原點(diǎn)所需的時間，與第一步向上還是向下無關(guān)。

因?yàn)榉聪驁?zhí)行相同的步驟，也有相同的概率。

由此，可以得出，對于任何固定的行走時間，最后一步離開原點(diǎn)的方向（向上或向下）的概率是相等的。

那么，再將這個觀察應(yīng)用到硬幣游戲中：

-HH相當(dāng)于一個單位時間的「向上」步驟

- HT^n H相當(dāng)于n+1個單位時間的向下步驟

這意味著，游戲結(jié)束時，我們同樣可能在原點(diǎn)之上（Alice贏，或者存在一個可能讓游戲平局HT^n H的中間步驟），或原點(diǎn)之下（Bob贏）。

如果游戲由HHT，后面全是T組成，有可能會平局。

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