數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴(kuò)展版得到證明

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2025-02-06 11:25:37 機(jī)器之心Pro

數(shù)學(xué)世界充滿了無法觸及的角落，那里存在著許許多多無法解決的問題?，F(xiàn)在，又一個(gè)角落被照亮了。

1900 年，著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)?希爾伯特（David Hilbert）公布了一份清單，其中包含 23 個(gè)關(guān)鍵問題，并希望以此指導(dǎo)下個(gè)世紀(jì)的數(shù)學(xué)研究。他的問題不僅為數(shù)學(xué)領(lǐng)域提供了路線圖，還反映了一個(gè)更雄心勃勃的愿景 —— 建立一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，使得所有數(shù)學(xué)真理都可以基于此推理出來。

這個(gè)愿景很宏大，而其中的一大關(guān)鍵是假定數(shù)學(xué)是「完備的（complete）」。也就是說，所有數(shù)學(xué)陳述都應(yīng)該可以被證明為真或假。

1930 年代，庫爾特?哥德爾（Kurt G?del）證明這是不可能的：在任何數(shù)學(xué)系統(tǒng)中，都有既不能證明也不能證偽的陳述。幾年后，艾倫?圖靈（Alan Turing）等人基于他的工作，表明數(shù)學(xué)充斥著「不可判定（undecidable）」的陳述——即任何計(jì)算機(jī)算法都無法解決的問題。

這些結(jié)果表明，證明和計(jì)算的能力存在一些根本性限制。有些數(shù)學(xué)根本無法被人知曉。

希爾伯特的夢想破滅了。但它的碎片依舊繼續(xù)存在著。他曾提出的那些問題仍會(huì)讓人想起他的愿景，使「完備數(shù)學(xué)」的理念可在更狹窄的語境下生存。

在這些問題中，第十問題是最主要的一個(gè)，其與丟番圖方程（又稱不定方程）有關(guān)。丟番圖方程是指有整數(shù)系數(shù)的多項(xiàng)式，例如x2+y2=5。我們很熟悉這些方程，而它們也是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最核心的研究對(duì)象之一。幾千年來，數(shù)學(xué)家一直在尋找它們的整數(shù)解。例如，在這個(gè)例子中，一個(gè)解是x=1，y=2（因?yàn)?2+22=5）。另一個(gè)是x=2，y=?1。

大衛(wèi)?希爾伯特

x2+y2=3等許多丟番圖方程卻可能沒有任何整數(shù)解。希爾伯特的第十問題是：是否總是可以判斷給定的丟番圖方程是否有整數(shù)解。

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