為了簡化證明過程,論文引入了幾種簡化假設。例如,假設管集合是“粘性的”,即它們在多個尺度上保持相似的結構。
基于此,該領域先前研究集中于形式為下界的研究(集合的最小可能維數(shù)):
具體而言,在三維空間中,對于各種介于(0<d<3)之間的維數(shù),人們期望d盡可能大。
早期研究中,人們陸續(xù)證明了d=1(僅考慮單管)、d=2(結合L2論證與線相交性質(zhì))、d=2.5(1995年Wolff梳子論證)的情況。
對維度參數(shù)d進行歸納直到最近,王虹、Joshua Zahl二人證明了d=3的情況。
概括而言,他們采用的證明策略十分復雜,通過引入非聚集條件、Wolff公理、多尺度分析等技術來進行了一系列論證。
這里我們直接看陶哲軒幫忙總結的關鍵技術環(huán)節(jié):他們證明的總體思路是對維度參數(shù)d進行歸納。
他們先定義了一種情況K(d),目標是通過數(shù)學推導,證明對于處于一定范圍的維度參數(shù)d,存在一種能從K(d)推導出K(d+)的關系,其中是一個大于0且和d有關的數(shù)。
PS:K(d)是指對于所有尺寸為xx1、方向為分隔的約-2個管子的配置,不等式(1)成立。
通過不斷重復這個推導過程,讓維度參數(shù)d逐漸接近3。
具體來說,他們核心使用多尺度分析技術,對于管子的集合及其組織結構進行了深入研究。
他們對粗細管進行了分組,并將細管組合成粗管。因為細管的方向具有特定的分布性質(zhì),所以每個粗管能容納的細管數(shù)量是有限的,相應地,要覆蓋所有細管就需要一定數(shù)量的粗管。
然后,基于K(d)定義下的不等式,他們計算出了粗管的總體積下限,再結合之前計算粗管總體積的方法和結果,進一步分析出了粗管的一個特殊屬性——“多重性”。
這是指在粗管占據(jù)的空間里,管子分布的一種密集程度或重疊程度。
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