數(shù)學(xué)真理的極限在哪里？希爾伯特第十問題擴展版得到證明(5)

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2025-02-06 11:25:37 機器之心Pro

但橢圓曲線必須滿足兩個屬性。首先，它需要有無限多個解。其次，如果切換到不同的整數(shù)環(huán)——如果從數(shù)字系統(tǒng)中移除虛數(shù)——那么該橢圓曲線的所有解都必須保持相同的底層結(jié)構(gòu)。

事實證明，構(gòu)建這樣一條適用于所有剩余環(huán)的橢圓曲線是一項極其微妙和困難的任務(wù)。但Koymans和Pagano——從研究生階段就開始就密切合作的橢圓曲線專家——擁有合適的工具集來進行嘗試。

許多個不眠之夜

從本科開始，Koymans就一直在思考希爾伯特第十問題。在就讀研究生以及在與Pagano合作期間，這個問題一直在召喚他?！肝颐磕甓紩◣滋鞎r間思考這個問題，但總是陷入困境，」Koymans說?！肝覈L試了三種方法，但它們都失敗了?！?/p>

2022年，在加拿大班夫舉行的一次會議上，他和Pagano最終聊到了這個問題。他們希望能夠一起構(gòu)建出解決這個問題所需的特殊橢圓曲線。在完成了其它一些項目后，他們開始了研究。

Peter Koymans

他們從一個簡單的橢圓曲線方程開始，這個方程不滿足任何所需的屬性。他們知道他們可以使用一種名為二次扭曲（quadratic twist，這是他們已經(jīng)研究了近十年的東西）的成熟技術(shù)來調(diào)整方程，使其滿足第一個條件。他們只需將方程的一個變量乘以一個特定的數(shù)字，他們就會得到一條有無限多個解的新橢圓曲線。

但這給他們留下了一個問題。他們無法保證這條新曲線滿足第二個性質(zhì)——對于相差一個虛數(shù)的環(huán)，其解看起來會很相似。數(shù)學(xué)家們需要更好地控制二次扭曲。

他們陷入困境。「我有一種不好的感覺，」Koymans說?！肝议_始懷疑我們遺漏了什么東西。」

然后，在2024年夏天，在研究另一個問題時，兩人不得不再次使用二次扭曲。一天晚上，在這項研究過程中，科伊曼斯發(fā)現(xiàn)自己躺在床上睡不著，無法停止思考希爾伯特第十問題。

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