如果黎曼猜想被證明是正確的，那么它就表明素?cái)?shù)沒有什么突出的規(guī)律，也就是說它們幾乎具有均勻的隨機(jī)性。如果黎曼猜想得到證明，它可以說是驗(yàn)證了從1到n中平均有N/ln(N)個(gè)素?cái)?shù)，因此素?cái)?shù)基本上是按照N/ln(N)的均勻分布。注意這里的N/ln(N)只是代表我們機(jī)器學(xué)習(xí)中常見的數(shù)學(xué)期望，并不能說確切地等于N/ln(N)個(gè)素?cái)?shù)。總之如果Atiyah證明了黎曼猜想，那么素?cái)?shù)還必須服從大數(shù)定理，這可能對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)和機(jī)器學(xué)習(xí)的研究能有一些幫助。

Atiyah的證明從理解物理學(xué)中的精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α出發(fā)，并發(fā)現(xiàn)依靠新的函數(shù)T(s)（也就是Todd函數(shù)），我們可以解決或至少為解決各種廣泛的問題提供新方向，包括黎曼猜想。在整個(gè)演講中，Atiyah首先介紹了復(fù)數(shù)的不可交換延伸：四元數(shù)（Quarternions）、復(fù)數(shù)、擴(kuò)展歐拉公式到四元數(shù)（Euler-Hamilton公式）這些基礎(chǔ)概念，它們是進(jìn)一步提出新工具和證明方法的前提。

隨后Atiyah重點(diǎn)介紹了證明黎曼猜想的核心新工具，即Todd多項(xiàng)式函數(shù)，借助這一函數(shù)與指數(shù)的無限迭代，我們可以理解精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α并嘗試最終的黎曼猜想證明。其中精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)α是物理學(xué)中的無量綱常數(shù)，它展示了原子物理學(xué)中原子譜線分裂的樣式。

對(duì)于證明黎曼猜想的核心 Todd function T(s) 函數(shù)，Atiyah 在文檔中給出了一些有趣的屬性：

T是實(shí)數(shù)，即T(sˉ)=T(s)ˉ；

T(1)=1；

T會(huì)將臨界帶映射到臨界帶，臨界線映射到臨界線。

Atiyah將Todd函數(shù)稱為弱解析函數(shù)，這意味著它是解析函數(shù)族的弱限制。所以對(duì)于任何復(fù)數(shù)中的緊致集K，T都是解析的。如果K是凸集，那么T是自由度為K(k)的多項(xiàng)式函數(shù)。Todd函數(shù)同樣是復(fù)合的，即弱解析函數(shù)的解析函數(shù)還是解析函數(shù)。

對(duì)于如何借助Todd函數(shù)證明黎曼猜想，讀者還是研讀那一頁P(yáng)PT吧：